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我们从数学应用的一个例子开始探讨。提到这一主题，很容易联想到牛顿的《自然哲学的数学原理》。在这本书中，牛顿广泛使用了文字叙述，定律通常先以语句的形式提出，随后在证明和求解过程中再回归数学。正如书名所示，这本书的核心在于用数学来描述经典物理学，为此牛顿还发明了后来被称为“流数术”的微积分。

牛顿在书中构建了一个公理化体系，前两章分别为“定义”与“公理或运动定律”。在“定义”章节中，他定义了诸如质量、惯性、力、向心力等概念，并补充说明了时间与空间的定义。在第二章“公理或运动定律”中，牛顿提出了三大运动定律，万有引力定律也在其中。在此基础上，更多的内容在后续章节中展开。《自然哲学的数学原理》标志着近现代科学的诞生。

公理化体系中的概念和命题可以用自然语言表述，也可以用数学语言表述。自然语言与数学语言之间的对比，揭示了各自的特点。在应用数学时，我们会使用各种数字和字母来代替文本词汇，通过数学方程和函数等公式来替代语句命题，进而展开系统分析。例如，万有引力定律的数学表达式为：[ F = frac{Gm1m2}{r^2} ]，而自然语言表述则是：“自然界中任何两个物体相互吸引，引力的大小与这两个物体的质量乘积成正比，与它们之间的距离平方成反比。”数学公式更为简洁、精确，而自然语言则显得复杂且不够准确，有时还会忽略关键的细节，比如引力常数G。

在应用数学时，各种数字和字母代表不同类型的数，这些数在同一谱系内存在。同类型的数之间有确定的关系，简单的数可以视为复杂数的特殊情况。这些符号用于标识对象时，都指向对象的某些计量结果。数学主要研究量，而自然语言更多描述事物的质。虽然质与量不一定对立，但在许多情况下，量可以通过广延（即对象某一性质的程度或顺序的不同）来衡量，例如长度、面积、角度、比例、速度、频率等。

计量是一种操作，不同环境中的不同类型量需要不同的计量技术。尽管测量精度存在差异，但其基本原理相同。测量的主要问题是精度，得到的是某个精度下的值，而非绝对精确的值。对于不可测量的无理数，实用角度考虑的是精度要求与逼近计算方法。计量使符号与对象建立了统一的对应关系，这种对应具有一定的客观性。

自然语言中的命名是事物分门别类的结果，本质上是自由和约定的。自然语言中的能指与所指对应没有统一的操作程序，每一符号的理解是具体的，需要不同的感知、经验或其他智力因素。自然语言中的分类和划分容易导致概念的交叉或矛盾，从而引起思维混乱。例如，“正义”、“美丽”等概念在质上难以界定。

认识上，速度的变化被识别为另一个量——加速度，这并非显而易见。量是普遍存在的，但可能被纷乱的现象掩盖。识别对象、对象的属性、对象间的关系或其他要素为量，并建立计量方法，是认知的艺术。一个概念被抽象出来，可能是先发现一种可计量或计算的方法。时间的概念就有这样的性质。人类在时间、空间计量上的进步推动了认知与实践的有序发展。

通过量的标识，各种感知可以以同样的形式呈现，成为可以相互比较和计算的存在。不同商品以货币计量后变得可交换，这是这种实践的延伸。数学正是这种超级语言，能够找到一种普适的关系关联媒介形态与其指称的对象。

我们再次比较万有引力定律的数学公式与自然语言表述。数学公式[ F = frac{Gm1m2}{r^2} ]在表达中列示了所有要素与关系，每部分与其他部分处于固定关联中。数学公式以简洁的整体结构直接描绘了要素间的关系。用自然语言表述时，则需要分解成多个陈述句。大脑需要将分散的符号串描述合成一个可理解的图景。自然语言在认知上的应用主要是陈述句，其他类型句子仅作为辅助作用。自然语言的句型非常有限，内容以几种句型结构表达。陈述句型只是一种主观表述结构，句型结构并不表现事件可能具有的结构、关系、变化、规律。

数学公式不仅是静态的表义，也是一种演算装置。在领域理论构建时，一组符号与公式构成公理化体系的初始。从这些初始符号和公式出发，通过逻辑与数学演绎，可以推出其他符号和公式，最终形成一个系统。应用理论时，公理系统中的初始符号和公式或它们的实例，或进一步推导出的公式实例，可用于实际问题建模，解释现象，或解决问题。领域现象的任一状态可以体现为建模公式各量上的特定取值组合。通过模型，可以从自变量计算出因变量。如果时间是公式中的自变量，通过公式运算得到其他量的值，我们可以推知现象的过去与未来。

实际问题所建立的模型能够准确反映现象可能的状态，这源于数学的特性。长度测量时，测量结果总对应一个实数数值。自然语言应用于具体领域时，语言本身只是提供组合方法和通用词汇，领域专用术语需要另行构造。自然语言更适合作为通用表述工具。